Заняття

Тема: Тригонометричні функції числового аргументу

Тема «Тригонометрія» вважається школярами однією з найскладніших, що доставляє масу проблем. А відбувається це через нерозуміння основоположних понять. Якщо чітко з'ясувати що таке тригонометричний круг, синус і косинус, тангенс і котангенс, то ця тема виявиться не складнішою за інші.

Дуже часто припускається непоправна помилка – недооцінка тригонометричного кола, адже це потужний помічник у всіх розділах тригонометрії. Фактично, це універсальна шпаргалка! Намалював тригонометричне коло – і одразу побачив відповідь! Це зовсім нескладно. Цьому ми і вчитимемося на сьогоднішньому занятті. Для успішного досягнення нашої мети, в першу чергу, потрібно з'ясувати наступні питання:

1.      що таке градусна і радіанна міри кутів;

2.      що таке тригонометричне коло і як на ньому відкладати кути і числа;

3.      що таке синус і косинус, тангенс і котангенс в застосуванні до прямокутного трикутника і на тригонометричному колі.

Ну що, почнемо? Перше питання зазвичай не викликає утруднень при вивченні, його і розглянемо для початку.

1. Градусна і радіанна міри кутів

У курсі геометрії кут вводиться як геометрична фігура, утворена двома променями, що виходять з однієї точки. Кут також можна розглядати як результат повороту променя на площині довкола початкової точки. Наприклад, повертаючи промінь ОА довкола точки О від початкового положення ОА до кінцевого положення ОВ, отримаємо кут АОВ.

                Рис. 1

Відмітимо, що досягти кінцевого положення ОВ можна при повороті променя ОА як за, так і проти годинникової стрілки. Дані визначення кутів приводять до різного розуміння виміру кутів. У курсі геометрії кожному куту відповідає його градусна міра, яка знаходиться в межах від до . Нагадаємо, що  це  частина розгорнутого кута.

При вимірюванні кутів повороту домовилися вважати напрям повороту проти годинникової стрілки додатним, а за годинниковою стрілкою – від’ємним. Тому при вимірюванні кутів, отриманих при повороті променя навколо початкової точки можна отримати як додатні, так і від’ємні значення кутів.

Наприклад, якщо кут АОВ, у якого промені ОА і ОВ взаємно перпендикулярні, отриманий при повороті променя ОА на кут  проти годинникової стрілки, то значення кута повороту +  (або просто ).

Якщо ж цей кут АОВ отриманий поворотом ОА за годинниковою стрілкою на , то значення кута повороту дорівнює . Цей самий кут АОВ можна отримати при повороті променя ОА проти годинникової стрілки на  і ще на повний оберт. У цьому випадку кут повороту дорівнює . Таких кутів повороту можна вказати нескінченно багато. Таким чином, значення кута повороту може набувати всіх дійсних значень від  до .

У математиці і фізиці окрім градусної міри використовують також радіанну міру кутів.

Означення

Кутом у один радіан називають центральний кут кола, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола.

На рисунку 2 зображено центральний кут АОВ, величина якого дорівнює одному радіану. Пишуть: .

Радіанна міра кута не залежить від радіусу кола (рис. 3).

Таким чином, якщо кут АОВ дорівнює 1 радіану (рис. 4), то це означає, що .

Встановимо зв'язок між радіанною і градусною мірами. Центральному розгорнутому куту АОС (мал. 4), який дорівнює , відповідає півколо, тобто дуга, довжина якої , а одному радіану – дуга завдовжки .

Отже, радіанна міра розгорнутого кута АОС рівна .

Отримане співвідношення часто записують так:

Із цієї рівності отримаємо наступні співвідношення:

При використанні цих співвідношень слід пам’ятати, що  це число! Ірраціональне, але число: .

Наприклад, визначимо, скільки градусів в одному радіані.

Для цього в перше співвідношення замість  підставимо його значення. Отримаємо . Це співвідношення також корисно запам'ятати, воно нам знадобиться надалі. Тепер ми легко можемо перейти від градусів до радіанів і навпаки. Але і тут ми не застраховані від плутанини. А річ у тому, що в тригонометричних функціях значок градусів – пишеться, а значок радіанів (рад) – не пишеться! Отже, будьте уважними і не забувайте, що  – це число!

Переведемо кути , які задано в радіанах, у градуси.

Якщо запис кута містить , то все дуже просто. Згадуємо співвідношення , підставляємо замість  значення  і готово!

.

Якщо запис числа не містить , то згадуємо співвідношення . Тоді, .

Щоб перевести градуси в радіани, згадуємо співвідношення .

Наприклад, .

Щоб упевнитись, що все засвоєно правильно, виконайте наступні завдання:

Завдання 1.1. Зобразіть кут, утворений поворотом променя ОА навколо точки О на:

225°-45°-60°720°540°

Завдання 1.2.Чому дорівнюють кути повороту, показані на рисунку?



-1000




Завдання 1.3. Знайдіть радіанну міру кута, який дорівнює:

.

25°π
----


210°π
----


300°π
----


Завдання 1.4. Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює:


---
5
°

π
---
9
°

2,5π°

π
- ---
8
°

2°

Завдання 1.5 Порівняйте величини кутів, заданих у радіанах:

.

π
--
2


2,5
π
- --
2


-2
π
--
3


1
1
- --
2


π
- --
6

Якщо виникли питання, можете переглянути розгорнуте розв'язання. Сподіваюся, що ви впоралися із завданням. Молодці!

Отже, з першим питанням ми успішно розібралися, настав час з'ясувати, що таке тригонометричне коло і як на ньому відкладати кути.

2.Тригонометричне коло

Розглянемо координатну площину ХОУ з центром у початку координат О. Осі координат розбивають площину на 4 частини, які називаються квадрантами (чвертями). Нумерація квадрантів наступна:

Отже, кожен кут однозначно визначає однойменну точку тригонометричного кола. Зворотно невірно: точка тригонометричного кола не визначає кут однозначно, кожній точці кола відповідає нескінченно багато кутів, що відрізняються один від одного на повне число обертів рухомого променя в додатному або від’ємному напрямі, про це ми говорили вище.

Важливо! Початком відліку кутів є додатна піввісь ОХ.

Для того, щоб знайти точку на тригонометричному колі, відповідну куту, заданому в градусах потрібно:

відкласти від додатного напрямку осі ОХ за годинниковою або проти годинникової стрілки (вказує знак) кут відповідної величини.

Для того, щоб відкласти будь-який інший кут, досить пам'ятати, що

Тобто третина дуги кожної чверті приблизно становить 0,52.

В результаті отримуємо наступні послідовності.

У додатному напрямку:

У від’ємному напрямку:

Місцезнаходження цих точок на колі потрібно знати!

Ми побачили, що кожній фіксованій точці тригонометричного кола відповідає багато кутів. Постає питання: як описати ці кути? Щоб зрозуміти загальне правило, розглянемо найпростіший випадок – точки з координатами (1;0). Нами вже було з’ясовано, що цим точкам відповідають кути . Зрозуміло, що сюди ж попадуть і кути  Усі ці кути дорівнюють п повних кутів , тобто записуються формулою .

Тепер виведемо загальне правило запису кутів, що відповідають довільній точці тригонометричного кола. Нехай деяка точка тригонометричного кола  відповідає куту , тоді будь-який кут , що відрізняється від  на ціле число повних обертів буде мати вигляд

Таким чином, ми отримали просте правило: щоб отримати всі кути, що відповідають деякій точці на тригонометричному колі, достатньо взяти один з них та додати до нього .

Продемонструємо це на колі (рис. 5)

Рис. 5

Ну що, все зрозуміло? Давайте перевіримо. Виконайте наступні завдання.

2.1. Позначте на одиничному колі точку, яку отримаємо при повороті точки  на кут:

;        2) ;       3) ;      4) ;        5) ;         6) .

2.2. У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана при повороті точки  на кут:

;          2) ;     3) ;       4) ;      5) ;           6) .

2.3. Які координати має точка одиничного кола, отримана при повороті точки  на кут:

;         2) ;     3) ;      4) ;         5) ;         6) .

2.4. Укажіть усі дійсні числа, які відповідають точці Р одиничного кола (рис. 6)

Рис. 6

Усе вийшло? Давайте перевіримо на скільки правильно.

Відповіді.

Усе правильно, молодці!

Є помилки, нічого страшного, читаємо ще раз пояснення і повторюємо спробу виконати завдання.

Переходимо до самого відповідального моменту. Якщо ми добре зрозуміємо визначення тригонометричних функцій числового аргументу та з’ясуємо як вони пов’язані з тригонометричним колом, тригонометрія для нас стане зрозумілою і не такою страшною, як здається.

3. Тригонометричні функції числового аргументу

Із поняттям тригонометричних функцій гострого кута ви зустрічалися в курсі планіметрії. Давайте згадаємо їх (рис. 7).

У прямокутному трикутнику:



Рис.7


У курсі геометрії було обґрунтовано, що синус та косинус гострого кута залежать тільки від величини кута і не залежать від довжин сторін трикутника і його розташування.

Візьмемо коло радіуса R із центром у початку координат. На колі оберемо точку . Крім того, що точка лежить на колі, вона ще знаходиться в прямокутній системі координат ХОУ, отже має координати (х;у).

Для їх знаходження, опустимо перпендикуляри на осі координат (рис. 8).

Рис. 8

От вам і прямокутний трикутник АО. А в ньому:

; 

; .

Як і для тригонометричних функцій гострих кутів, значення  залежать тільки від міри кута  і не залежить від радіуса кола. Якщо вибрати , то можна спростити наведені означення тригонометричних функцій.


Синусом кута  називається ордината точки  одиничного кола:

.

Косинусом кута  називається абсциса точки  одиничного кола:

.

Тангенсом кута  називається відношення ординати точки  одиничного кола до її абсциси, тобто відношення . Отже,

.

Котангенсом кута  називається відношення абсциси точки  одиничного кола до її ординати, тобто відношення . Отже,

.

Введені означення дозволяють розглядати не тільки тригонометричні функції кутів, а й тригонометричні функції числових аргументів, якщо розглядати тригонометричні функції числа  як відповідні тригонометричні функції кута в  радіан. Тобто,

Отже, ми отримали, що тригонометричні функції числового аргументу пов’язані з координатами точок на одиничному колі.

Де шукати синус і косинус з’ясували. А от де тангенс і котангенс?

Проведемо пряму паралельно осі ОУ, яка є дотичною до одиничного кола в точці (1;0). Ця пряма називається лінією тангенсів. Чому? Зараз розберемось. ()

Отже,

Знайдемо місце для котангенса. Проведемо пряму паралельно осі ОХ, яка є дотичною до одиничного кола в точці (0;1). Ця пряма називається лінією котангенсів. Зараз розберемось і з цим.

Користуючись цими означеннями, можна заповнити таблицю значень тригонометричних функцій. Значення тригонометричних функцій гострих кутів знаходяться з прямокутного трикутника. Для кутів, сторони яких збігаються з осями координат – за координатами точок на одиничному колі.

Таблиця значень тригонометричних функцій

Ці значення легко запам’ятати, користуючись мнемонічним правилом.

Корисними також є відомості про те, що синус і косинус кутів, які в сумі дають , однакові. У наведеній нижче таблиці зверніть увагу на

кольори.

Значення тригонометричних функцій кутів, відмінних від наведених можна знайти, користуючись властивостями тригонометричних функцій, до розгляду яких ми переходимо.

4. Властивості тригонометричних функцій

Властивості функцій, що наводяться нижче, також легко встановити за допомогою тригонометричного кола.

4.1. Знаки тригонометричних функцій

Знаки функцій синус і косинус визначаються знаками ординати і абсциси відповідної точки одиничного кола.

Знаки функцій тангенс і котангенс можна визначити по знакам значень синус та косинус. Там де координати одного знака, буде «+», там де різних – буде «–».

Зверніть увагу, що в першій чверті всі тригонометричні функції мають знак «+».

4.2. Періодичність і парність тригонометричних функцій

Парність (непарність) тригонометричних функцій:

Із чотирьох тригонометричних функцій лише – парна, усі інші непарні, тому:

Періодичність тригонометричних функцій:

Функції ,  мають період . Найменший додатний період – .

Функції ,  мають період . Найменший додатний період – .

Тому:

4.3. Формули зведення

Співвідношення, у яких значення тригонометричних функцій аргументів  виражаються через ,  , ,  називаються формулами зведення.

Формули зведення використовуються для приведення тригонометричних функцій будь-якого кута до тригонометричних функцій гострого кута.

Щоб записати будь-яку формулу зведення корисно запам’ятати такі правила:

1)    якщо  взято парну кількість разів, то назва даної функції не змінюється; якщо непарну – змінюється на кофункцію (синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки);

2)    перед утвореною функцією ставиться той знак, який має функція, що перетворюється за допомогою формул зведення.

Наприклад, . Назва функції змінилась тому, що  узято один раз. Перед  знак «+» тому, що , а у другій чверті .

, , .

Якщо вигляд аргументу відрізняється від вказаного, то спочатку використовують парність або непарність функції.

Наприклад, .

Пропонуємо для запам’ятовування розглянути жартівливе мнемонічне правило.

Кінське правило

У старі добрі часи жив розсіяний математик, який при пошуку відповіді змінювати чи не змінювати назву функції (синус на косинус), дивився на свого розумного коня. Він кивав головою вздовж тієї осі координат, якій належала точка, відповідна першому доданку аргументу π / 2 ± а (3π / 2 ± а) або π ± а (2π ± а). Якщо кінь кивав головою уздовж осі ОУ, то математик вважав, що отримана відповідь «так, міняти», якщо уздовж осі ОХ, то «ні, не міняти».

4.4. Основні тригонометричні тотожності

                                                                        (1)

Із тотожності (1) випливають наступні формули:

                                                         (2)

Із (2) випливає             .

Із тотожностей (1) і (2) випливають наступні:

Зразки розв’язання основних типів завдань

Приклад 4.1. Розташуйте у порядку зростання числа .

Розв’язання. Завдання такого типу швидко і легко можна виконати за допомогою тригонометричного кола.

Нанесемо на одиничне коло точки . За означенням, синусом числа є ордината точки, що відповідає даному числу на одиничному колі. Знайдемо ординати точок і порівняємо їх.

 

Отже, маємо .

Приклад 4.2. Обчислити значення виразу:

а) ;           б) ;       в) .

Розв’язання.

а) Враховуючи періодичність синуса, отримаємо:

 

 б) Спочатку скористаємось парністю косинуса, а потім його періодичністю, отримаємо:

;

в) скористаємость формулами зведення:

Приклад 4.3. Знайти , якщо .

Розвязання.

Оскільки , то

Оскільки кут  лежить у ІІІ координатній чверті, то

Отже,

Перевірити рівень засвоєння матеріалу можна за допомогою тесту.



1. Яка із точок, що зображені на тригонометричному колі, приблизно відповідає числу  радіан?

А

Б

В

Г

N

M

P

C

2. Укажіть усі числа з проміжку , що відповідають точці з ординатою -1 на тригонометричному колі

А

Б

В

Г

3. Куту  на тригонометричному колі відповідає точка з координатами:

А

Б

В

Г

4. Знайдіть значення виразу

А

Б

В

Г

2

-1

0

1

5. Укажіть область визначення функції .

А

Б

В

Г

6. Розташуйте у порядку зростання числа .

А

Б

В

Г

7. Яка з даних нерівностей є невірною

А

Б

В

Г

8. Приведіть вираз  до тригонометричної функції кута .

А

Б

В

Г

Д

Привести не можливо




9. Обчисліть :

А

Б

В

Г

10. Обчислити значення виразу

А

Б

В

Г

11. Числа  задовольняють нерівність...

А

Б

В

Г

b<c<a

c<a<b

b<a<c

c<b<a

12. Укажіть неправильне співвідношення

А

Б

В

Г

Д

13. Значення виразу дорівнює…

А

Б

В

Г

1

2

0

4

14. Рівність  задовольняють значення

А

Б

В

Г

15. Рівність  задовольняють значення

А

Б

В

Г

16. Спростіть вираз

А

Б

В

Г

17. Спростіть вираз

А

Б

В

Г

0

1

18. Синус і косинус одного й того ж кута не можуть дорівнювати:

А

Б

В

Г

0,6 и -0,8

 и

0,5 и 0,5

 и

19. Обчисліть , якщо , :

А

Б

В

Г

0,4   

0,8

0,6

– 0,6

20. Укажіть нерівність, яка виконується для .

А

Б

В

Г

Д

Відповіді

Рекомендації до виконання тесту, якщо є помилки

Любий друже! От Ви і розглянули основоположні питання тригонометрії. Ви успішно впоралися з усіма запропонованими завданнями, отже базові знання з тригонометрії закладено. Це дасть Вам змогу успішно просуватися далі в оволодінні математикою.
Бажаємо успіху!